On some modifications and applications of the post correspondence problem

The Post Correspondence Problem was introduced by Emil Post in 1946. The problem considers pairs of lists of sequences of symbols, or words, where each word has its place on the list determined by its index. The Post Correspondence Problem asks does there exist a sequence of indices so that, when we write the words in the order of the sequence as single words from both lists, the two resulting words are equal. Post proved the problem to be undecidable, that is, no algorithm deciding it can exist. A variety of restrictions and modifications have been introduced to the original formulation of the problem, that have then been shown to be either decidable or undecidable. Both the original Post Correspondence Problem and its modifications have been widely used in proving other decision problems undecidable. In this thesis we consider some modifications of the Post Correspondence Problem as well as some applications of it in undecidability proofs. We consider a modification for sequences of indices that are infinite to two directions. We also consider a modification to the original Post Correspondence Problem where instead of the words being equal for a sequence of indices, we take two sequences that are conjugates of each other. Two words are conjugates if we can write one word by taking the other and moving some part of that word from the end to the beginning. Both modifications are shown to be undecidable. We also use the Post Correspondence Problem and its modification for injective morphisms in proving two problems from formal language theory to be undecidable; the first problem is on special shuffling of words and the second problem on fixed points of rational functions

Decision Problems on Copying and Shuffling

We study decision problems of the form: given a regular or linear context-free language $L$, is there a word of a given fixed form in $L$, where given fixed forms are based on word operations copy, marked copy, shuffle and their combinations

Sanojen jaksollisuudesta

Tämä tutkielma kuuluu sanojen kombinatoriikan alaan ja se käsittelee sanojen jaksollisuutta, joka on sanojen kombinatoriikassa erittäin keskeinen käsite. Jaksollisuudella tarkoitetaan sanassa toistuvaa rakennetta, jota käsitellään yleensä globaalina ominaisuutena, mutta esiintyy tässä työssä myös paikallisena ominaisuutena. Eräät vanhimmista sanoja koskevista tuloksista käsittelevät juuri jaksollisuutta. Tutkielma sisältää aiheittain joitakin tärkeimpiä jaksollisuuteen liittyviä tuloksia ja aihepiirejä. Tutkielmassa näytetään, että tutkittavan sanan jaksojen joukko ei ole sidonnainen käsiteltävän aakkoston kokoon. Tämä mahdollistaa jaksollisuustarkastelujen tekemisen pienissä aakkostoissa, esimerkiksi yleisesti käytettävässä binääriaakkostossa. Suuri osa työstä käsittelee sanojen globaalien ja paikallisten jaksojen yhteyden osoittamista, sekä tämän yhteyden seurauksia. Lisäksi tutkielmassa esitetään ratkaisu niin sanotulle Duvalin ongelmalle, joka käsittelee mahdollisimman vähän jaksollisuutta omaavia äärellisiä sanoja. Lopuksi tarkastellaan erityistä sanojen tekijöihinjakoa, niin sanottua Weinbaumin faktorisaatiota, jossa käsiteltävät sanat eivät ole aidosti jaksollisia.Siirretty Doriast

Investigation into Mobile Operator Processes: Adaptation of a New Service Qaulity Monitoring Tool

Mobiiliteknologioiden saralla viimevuosina tapahtunut kehitys on johtanut matkapuhelinoperaattorit siihen tilanteeseen, että näiden on siirryttävä aikaisemmin teknologiakeskeisestä ajattelusta huomattavasti palvelukeskeisempään ajattelumalliin. UMTS:n kaltaisten uusien matkapuhelinteknologioiden mukanaan tuomien uusien palveluiden myötä operaattoreiden tulee ottaa verkkojensa tarjoama palvelunlaatu tulevaisuudessa huomattavasti keskeisempään asemaan. Kun uusia mobiilipalveluita tuodaan kuluttajien saataville, tulee operaattoreiden ottaa uusia palvelun laadun hallintaan kehitettyjä verkonhallintatyökaluja jatkossa yhä enenevässä määrin käyttöön jos nämä haluavat tulevaisuudessakin tarjota asiakkailleen hyvää palvelun laatua. Tämän työn tarkoituksena oli analysoida TeliaSonera Finlandissa tällä hetkellä käytössä olevia verkonhallintaprosesseja. Erityistä huomiota työssä kiinnitettiin UMTS verkon tarjoamiin palveluihin. Työssä tutkittiin eri TeliaSonera Finlandin hyödyntämiä verkonhallintatyökaluja joita yritys käyttää mm. juuri matkapuhelinverkkonsa laadun valvontaan. Työn keskeinen huomio on uuden työkalun, Nokia NetAct Service Quality Managerin käyttöönpttoprosessissa ja sen kuvaamisessa. Tämän diplomityön tärkein anti on prosessien edellä mainittujen prosessien analysointi, sekä itse käyttöönottoprosessin tutkiminen ja evaluointi. Lisäksi työssä on kuvattu työkalun keskeiset käyttäjäryhmät ja heidän tarpeensa työkalun osalta, sekä heidän työkalusta saamansa hyöty. Työssä tehdyt prosessikuvaukset ovat arvokkaita erityisesti TeliaSoneralle, yrityksen viimeistellessä Service Quality Managerin integroimista verkonhallintaprosesseihinsa. Lisäksi erityisesti työkalun käyttöönottoprosessin evaluoinnin pohjalta annetut päätelmät ja ehdotukset toimivat hyvänä lähtökohtana TeliaSoneran arvioidessa käyttöönottoprosessin onnistuneisuutta. Näiden päätelmien pohjalta yritys voi myös muokata olemassa olevia verkonhallinta prosesseja tarpeen mukaan

On Bi-infinite and Conjugate Post Correspondence Problems

We study two modifications of the Post Correspondence Problem (PCP), namely 1) the bi-infinite version, where it is asked whether there exists a bi-infinite word such that two given morphisms agree on it, and 2) the conjugate version, where we require the images of a solution for two given morphisms are conjugates of each other. For the bi-infinite PCP we show that it is in the class Σ^0 _2 of the arithmetical hierarchy and for the conjugate PCP we give an undecidability proof by reducing it to the word problem for a special type of semi-Thue systems

On bi-infinite and conjugate post correspondence problems

We study two modifications of the Post Correspondence Problem (PCP), namely (1) the bi-infinite version, where it is asked whether there exists a bi-infinite word such that two given morphisms agree on it, and (2) the conjugate version, where we require the images of a solution for two given morphisms are conjugates of each other. For the conjugate PCP we give an undecidability proof by reducing it to the word problem for a special type of semi-Thue systems and for the bi-infinite PCP we give a simple argument that it is in the class Σ20 of the arithmetical hierarchy